Poisson - Campos Invisibles
Modifica la intensidad y cantidad de las fuentes para ver cómo afectan su entorno de forma estacionaria.
Ciencia Fácil 🧪
¡Para curiosos!¡Fuentes de poder! Imagina que colocas un radiador caliente o un imán en el agua: su calor o fuerza se extiende por todo el lago hasta que todo se queda quieto de forma permanente. ¡Aquí tú controlas dónde ponerlos y qué tan fuertes son!
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¿Qué es la Ecuación de Poisson? 🧐
Esta ecuación describe cómo se distribuye un campo o potencial en el espacio cuando el sistema ha alcanzado un estado de equilibrio permanente (estacionario). No hay cambios en el tiempo, todo está quieto.
Analogías Físicas y Aplicaciones:
- Calor en equilibrio: Imagina que tienes una placa de metal y colocas calentadores (fuentes) en ciertos puntos. Después de mucho tiempo, la temperatura en toda la placa dejará de cambiar. Esa distribución final de temperatura obedece a la ecuación de Poisson.
- Campos magnéticos o eléctricos: Las cargas eléctricas o los imanes generan un campo de fuerza a su alrededor de forma continua. La fuerza en cada punto se calcula con esta ecuación.
- Presión del agua subterránea: Ayuda a calcular cómo se filtra y estabiliza el agua en pozos y acuíferos bajo la tierra.
Matemática de Poisson y Método mGFD 🧠
La Ecuación Diferencial:
$$\nabla^2 u(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) \implies \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x, y)$$
- \(u(x, y)\): Es el potencial físico (ej. temperatura final).
- \(\nabla^2\): Es el operador laplaciano, que mide la divergencia del gradiente del potencial (es decir, la "curvatura" local del campo).
- \(f(x, y)\): Es la función de densidad de fuentes o cargas (las posiciones de clic con su intensidad).
Resolución Numérica Libre de Malla (mGFD):
Dado que los lagos tienen bordes irregulares, el Meshless Generalized Finite Difference (mGFD) calcula la solución sobre una nube de puntos desestructurada:
- Para cada punto \(\mathbf{x}_0\), se define una vecindad de soporte (nodos más cercanos).
- Se realiza una aproximación por desarrollo en serie de Taylor de segundo orden: \(u(\mathbf{x}_i) \approx u(\mathbf{x}_0) + h_i \frac{\partial u}{\partial x} + k_i \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{h_i^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + h_i k_i \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{k_i^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\).
- Se resuelven los coeficientes/pesos minimizando la norma del error mediante mínimos cuadrados ponderados (\(WLS\)) con una función de peso de distancia.
- El sistema lineal global se resuelve para obtener el valor del potencial en cada nodo respetando la condición de frontera en las orillas irregulares del lago.